Anton Abanovič gimė Maskvoje. 1997 metais baigė Gnesinų Muzikos Akademiją (Maskva). Mokėsi pas prof. Mariną Piccininį (JAV) ir prof. Feliksą Rengglį (Šveicarija).
Fleitininkas yra tarptautinių konkursų laureatas ir turi menų daktaro laipsnį (Ph. D).
Nuo 1994 Anton Abanovič dirbo keliuose Rusijos simfoniniuose orkestruose Mstislavo Rostropovičiaus, Genadijaus Roždestvenskio, Valerijaus Polyanskio, Marko Gorenšteino.
Fleitininkas gastroliavo su orkestrais, ansambliais, solo Austrijoje, Vokietijoje, Šveicarijoje, Olandijoje, Italijoje, Prancūzijoje, Suomijoje, Japonijoje. Jis grojo geriausiose Maskvos salėse (Didžioji, Mažoji, Rachmaninovo, Maskvos konservatorijos, Maskvos Valstybinės Akademinės filharmonijos, Tarptautinių Muzikos Namų), bei Miunchene (Gasteig), Tokijuje (Tokijo filharmonijos), Bazelyje (Muzikos akademijos), Freiburge (Hochschule fur Musik). Jis taip pat įrašė įvairius kūrinius su simfoniniais orkestrais Rusijos Valstybinėje televizijoje ir radijuje.
Anton Abanovič yra fleitų kvarteto „Flavio“ (fleita, smuikas, altas ir violončelė) įkūrėjas.
2009-2011 metais muzikantas buvo tarptautinio konkurso "Mano mėgstamiausia fleita“ žiuri narys, 2012 ir 2014 metais – Tarptautinio konkurso „Gnessinfest“ organizatorius ir žiuri narys.
2014 metais Anton Abanovič tapo Pirmosios Maskvos fleitistų aukščiausio meistriškumo klasės steigėju ir meno vadovu kartu su profesoriais Pierre-Yves Artaud iš Paryžiaus nacionalinės konservatorijos (Prancūzija) ir Vincent Lucas (Prancūzija), taip pat su vienu iš pasaulyje garsiausių fleitininku Sir James Galway (Anglija).
