Broliai Antanas ir Bronius Budriūnai. Baigęs vidurinę mokyklą, kurį laiką buvo pradžios mokyklos mokytojas, 1917 m. pradėjo organizuoti chorus ir rengti vakarus koncertus Daudžgirių dvare, Zizonyse, Daunoriuose ir Pabiržėje.
Nuo 1920 m. keletą metų dirbo valdininku Biržuose, Kaune ir Klaipėdoje. 1924–1928 m. Klaipėdos muzikos mokykloje-konservatorijoje mokėsi smuikuoti ir muzikos pedagogikos. Išlaikė konkursinius egzaminus į muzikos mokykloje organizuojamą kapelą.
1927–1931 m. Kretingos vidurinės mokyklos muzikos mokytojas ir choro vadovas, suorganizavo Šaulių chorą ir surengė keletą koncertų. Su mokyklos ir Šaulių chorais dalyvavo 1928 m. visos Lietuvos dainų šventėje Kaune. 1928–1929 m. Dotnuvos žemės ūkio akademijos muzikos instruktorius, choro, vokalinių ir instrumentinių ansamblių vadovas. Mokytojavo Darbo rūmų gimnazijoje Kaune, buvo vargonininkų kursų lektorius, radijo laidose skaitė simfoninės muzikos koncertų komentarus, rašė straipsnius. Kurį laiką mokytojavo Vilkaviškio gimnazijoje, vadovavo Kanklininkų draugijos chorui, su chorais dalyvavo 1930 m. visos Lietuvos dainų šventėje Kaune. 1933 m. – Klaipėdos konservatorijos reikalų vedėjas ir Jeronimo Kačinsko suorganizuoto simfoninio orkestro smuikininkas.
Dar studijų metais Klaipėdoje Juozo Žilevičiaus paragintas pradėjo rašyti straipsnius įvairiais muzikos klausimais „Muzikos mene“, „Muzikoje“, „Kultūroje“ ir „Muzikos atžalose“. Su broliais Antanu ir Bronium Kaune pradėjo leisti žurnalą „Muzikos barai“, 1931–1933 m. ir 1938 m. buvo žurnalo redaktorius ir leidėjas. Straipsnius įvairiais muzikos klausimais spausdino ne tik „Muzikos baruose“, bet ir „Lietuvos aide", „Naujojoje Romuvoje“ ir kitur.
Aktyviai dalyvavo Lietuvos muzikų draugijos veikloje, buvo valdybos narys, nuo 1933 m. – sekretorius. Su J. Kačinsku įsteigė Lietuvių muzikų progresistų draugiją ir Tarptautinės naujosios muzikos draugijos sekciją Lietuvoje. Nuo 1940 m. Lietuvos švietimo ministerijos Kultūros reikalų departamento muzikos inspektorius, vėliau – Vilniaus miesto meno reikalų Muzikos skyriaus viršininkas, rūpinosi muzikos mokyklų steigimu ir kultūriniu gyvenimu.
1940–1941 m. Kauno konservatorijos ir Vilniaus muzikos mokyklos estetikos lektorius. Vokiečių okupacijos metais dirbo Švietimo valdyboje, vidurinio ir pradinio mokslo departamente kaip muzikos inspektorius, referentas ir vyr. referentas.
1944 m. pasitraukęs į Vokietiją, mokytojavo Regensburgo ir Scheinfeldo lietuvių gimnazijose ir dėstė muzikos kursuose. Vadovavo Memingeno lietuvių stovyklos chorui „Darna“, dalyvavo šventiniuose renginiuose, koncertavo Bonoje, Miunchene, Ulme, du kartus buvo Šveicarijoje ir Ispanijoje. Choras dalyvavo „Amerikos balso“ ir „Laisvosios Europos“ radijo laidose. Choro repertuare buvo Česlovo Sasnausko daina „Užmigo žemė“, Vlado Jakubėno „Ko žilas ožys bliovė“, Kazimiero Viktoro Banaičio „Paskutinis vakarėlis“ ir kt. Chorą lankė apie 20 moterų ir 20 vyrų. 1954 m. koncertavo lietuvių stovyklos dešimtmečio iškilmėse.
M. Budriūnas yra pertvarkęs ir susisteminęs gimnazijų ir pradžios mokyklų muzikos programas. Pradžios mokykloms išleido dainų rinkinį „Pradinis dainynas“ (1944 m.), išvertė R. Schumanno „Muzikinio auklėjimosi ir gyvenimo taisykles“ (1933 m.), sukūrė dainų chorams. Paminėtas Vokietijos „Riemann Musik Lexikon“ ir kitose enciklopedijose.