Robertas Bekionis gimė Vilniuje 1951 08 23. Vaikystėje dainavo "Ąžuoliuko" berniukų chore ir lankė garsios lietuvių pianistės Nadeždos Dukstulskaitės, prieškarinės Berlyno konservatorijos absolventės, fortepijono pamokas. 1967 metais ji paruošė mokinį tarptautiniam konkursui Rusijoje, netoli Tuapsė. Ten jis laimėjo antrąją premiją. Dukstulskaitė paruošė Bekionį ir stojamiesiems į Lietuvos muzikos akademiją (dabar LMTA), kur jis studijavo pas profesorę Olgą Šteinberg ir buvo pripažintas talentingu muziku.
Akademiją baigė su pagyrimu 1974, o 1972 m. tapo Lietuvos nacionalinės filharmonijos solistu. Kitais metais laimėjo tarptautinį M. K. Čiurlionio konkursą. 1978 m. Lietuvos muzikos akademijoje baigė aspirantūrą ir nuo 1988 metų ten pat dirbo docento pareigose. 1983-1988 m. mokėsi Maskvos Čaikovskio Konservatorijoje pas įžymų piansitą ir pedagogą Levą Vlasenko, kuris atsiliepdavo apie Bekionį kaip apie intelektualų, gilų, plačios erudicijos muziką - solistą ir kamerinių ansamblių dalyvį, daug koncertavusį Lietuvoje, Sovietų Sąjungoje ir užsienyje. Daugybėje savo solinių koncertų Bekionis atlikdavo Schubert'o, Beethoven'o, Debussy, Rachmaninov'o, Chopin'o, Liszt'o, Prokofiev'o ir kitų kūrinius. Į koncertų programą dažnai įtraukdavo ir lietuvių kompozitorių pjeses. Bekionis buvo pripažįstamas ir kaip jautrus, profesionalus akompaniatorius. Kartu su žinomu lietuvių bosu Vaclovu Daunoru (vėliau - Niujorko Metropolitan Opera solistas) jis koncertavo įvairiuose Vokietijos miestuose ir surengė penkis koncertinius turus po JAV. 1979 m. po koncerto Niujorko Carnegie recital Hall'e garsusis muzikos kritikas Joseph'as Horowitz'as apibūdino Bekionį kaip atidų akompaniatorių ir pabrėžė įspūdingą Schubert'o-Prokofiev'o "Valsų siuitos" solinį atlikimą. Bekionis daug koncertavo po Sovietų Sąjungą kartu su įžymia Lietuvos operos soliste Gražina Apanavičiūte. Visi koncertai buvo įvertinti labai palankiomis recenzijomis. Be to, jie padarė daug įrašų Lietuvos radijuje ir televizijoje. Bekionio kūrybiniam stiliui būdingos gilios įžvalgos, ryškus intelektas, išskirtinis emocionalumas. Raiškiai perteikdamas kūrinio visumą, jis sumaniai naudoja ir garso įvairovę bei išmoningą ritmiką. Daug jo studentų laimėjo įvairių tarptautinių konkursų premijas bei diplomus.
